Pangkat Tak Sebenarnya

Pangkat Tak Sebenarnya

A. Bilangan Rasional Berpangkat Bilangan Bulat 

 

 1. Bilangan Rasional 

 

Bilangan rasional ialah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk ^a/_b, denganadan b adalah bilangan bulat serta b≠ 0.

 

Bilangan ¹/₂, ¹/₃, ²/₃, – ²/₅, – ³/₇, dan – ⁵/₉ merupakan bilangan rasional karena memenuhi bentuk seperti pada Definisi 1

 

 2. Pengertian Bilangan Rasional Berpangkat Bilangan Bulat Positif 

 

Perkalian berulang tersebut akan lebih sederhana jika ditulis dalam bentuk bilangan berpangkat, seperti berikut.

3 × 3 ditulis 3² dan dibaca "tiga pangkat dua".

5 × 5 × 5 ditulis 5³ dan dibaca "lima pangkat tiga".

(–2) × (–2) × (–2) × (–2) ditulis (–2)⁴ dan dibaca "negatif dua pangkat empat". 

 

Definisi 2
Jika a bilangan rasional dan n bilangan bulat positif maka perkalian berulang n faktor dari a ialah

a₁ x a₂ x a₃ x a₄ x a₅ x ...x a_n = aⁿ

Pada Definisi 2, aⁿ disebut bilangan berpangkat dengan a sebagai bilangan pokok dan n sebagai pangkat (eksponen). 

 

 3. Sifat Bilangan Rasional Berpangkat Bilangan Bulat Positif 

 

 a. Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat 

 

3³× 3² = (3 x 3 x 3)(3 x 3)

           = (3 x 3 x 3 x 3 x 3)

           = 3³⁺²

 

Jadi 3³× 3² = 3³⁺²

 Sifat 1
Jika a bilangan rasional dan m, n bilangan bulat positif maka

a^m × aⁿ = a^m+n

 b. Sifat Pembagian Bilangan Berpangkat 

 

35	=	3 x 3 x 3 x 3 x 3	=	35-2
32		3 x 3

 

Jadi	35	=	3 x 3 x 3 x 3 x 3	=	35-2
	32		3 x 3

 

 

 

Sifat 2
Jika a bilangan rasional, a ≠ 0, dan m, n bilangan bulat positif maka :

 

am	= am-n	dengan m > n
bn

 

c. Sifat Perpangkatan Bilangan Berpangkat  

 

(2³)² =  (2 x 2 x 2 )²

         =   (2 x 2 x 2 )(2 x 2 x 2 )

         =  2⁶

 

Jadi (2³)² =  2^{3 x 2} =  2^{2 x 3}

 

Perpangkatan bilangan berpangkat yang telah kamu pelajari tersebut memperjelas sifat berikut.

 

Sifat 3

Jika a bilangan rasional dan m, n bilangan bulat positif maka

(2^m)ⁿ =  2^{m x n} =  2^{n x m}

 

d. Sifat Perpangkatan dari Bentuk Perkalian

 

(2 × 3)³ =  (2 × 3)(2 × 3)(2 × 3)

             = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3

             =  2³ x 3³

 

Jadi  (2 × 3)³ =   2³ x 3³

 

 

Sifat 4

Jika n bilangan bulat positif dan a, b bilangan rasional maka (a × b)ⁿ =   aⁿ x bⁿ

 

 e. Sifat Perpangkatan dari Bentuk Pembagian

Untuk memahami sifat perpangkatan dari bentuk pembagian, pelajarilah operasi hitung berikut dengan saksama.

	2
2		=	2 x 2	=	22
3			3 x 3		32

Perpangkatan dari bentuk pembagian yang telah kamu pelajari itu memperjelas sifat berikut.

Sifat 5

Jika a, b bilangan rasional, b ≠ 0, dan n bilangan bulat positi

 

 f. Sifat Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Berpangkat 

 

Sifat 6

Jika a, p, q adalah bilangan rasional dan m, n adalah bilangan bulat positif, dengan m ≥ n maka

paⁿ + qa^m = aⁿ(p + qa^m–n)

 

 

Sifat 7

Jika a, p, q adalah bilangan rasional dan m, n adalah bilangan bulat positif, dengan m ≥ n maka

paⁿ – qa^m = aⁿ(p – qa^{m – n})
pa^m – qaⁿ = an(pa^{m – n} – q)

 

 4. Sifat Bilangan Rasional Berpangkat Bilangan Bulat Negatif dan Nol 

 

 

a. Pengertian Pangkat Bilangan Bulat Negatif

 

Berdasarkan Sifat 2, telah dipelajari bahwa untuk a adalah bilangan rasional, a ≠ 0, dan m, n adalah bilangan bulat positif dengan m > n, berlaku

am	= am-n
bn

 

Sifat tersebut dapat dikembangkan untuk m < n. Sebagai contoh, amatilah bentuk berikut.

 

a3	= a3-5	= a-2                 ...(1)
b5

 

Dengan cara menuliskan ke dalam bentuk faktorfaktornya, pembagian tersebut dapat dituliskan sebagai berikut.

 

a3	=	a x a x a	=	1	=	1	…(2)
a5		a x a x a x a x a		a x a		a2

 

Berdasarkan (1) dan (2) dapat disimpulkan bahwa

 

1	=	a-2
a2

Dengan demikian, kamu dapat mengubah bilangan rasional berpangkat bilangan bulat negatif ke dalam bentuk bilangan rasional berpangkat bilangan bulat positif dan sebaliknya.

 

Secara umum, untuk bilangan berpangkat n, dengan n adalah bilangan bulat positif dapat ditulis seperti berikut.

 

1	=	a-n dengan a ≠ 0
an

 

Sekarang, amati bentuk perpangkatan berikut yang dihitung dengan menggunakan kalkulator.

 

4-1 = 0,25 =	1
	4

 

2-3 = 0,125 =	1	=	1
	8		23

 

3-2 = 0,1111.. =	1	=	1
	9		32

 

 

Uraian tersebut memenuhi definisi bilangan rasional ber pangkat bilangan bulat negatif seperti definisi berikut.

 

 

Definisi 3

Jika a bilangan rasional, a ≠ 0, dan n adalah bilangan bulat positif maka

a-n =	1
	an

 

Contoh 8

 

Ubahlah bentuk pangkat berikut menjadi bentuk pangkat positif.

 

a. 5^–2    b. 2^–3

 

Penyelesaian:

 

a.	5-2 =	1
		52

 

b.	2–3 =	1
		23

 

 

Sifat pangkat bilangan bulat positif dari Sifat 1 sampai dengan Sifat 5 berlaku juga untuk bilangan berpangkat bilangan bulat negatif, dengan a, b adalah bilangan rasional dan m, n adalah bilangan bulat negatif.

Coba kamu tuliskan kelima sifat tersebut di buku tugasmu.

 

Contoh 9

 

a. 5^-4 × 5⁶ = 5^{-4 + 6} = 5² = 5 × 5 = 25

b.	(-3)2	(-3)2-4 = (-3)-2 =	1	=	1
	(-3)4		(-3) 2		9

 

b. Pengertian Pangkat Nol

 

Kamu telah mempelajari Sifat 5.2 bilangan rasional berpangkat bilangan bulat positif dan negatif, yaitu

am	=	am-n
an

dengan a bilangan rasional, m dan n adalah bilangan bulat, m≠ 0, n≠ 0, serta m≠ n.

 

Sekarang, amati sifat tersebut untuk m= n.

 

Sebagai contoh,

 

a5	=	a5-5 = a0   ….(1)
a5

 

Dengan cara menuliskan ke dalam bentuk faktor-faktornya, pembagian tersebut dapat dituliskan sebagai berikut.

 

a5	=	a x a x a x a x a	= 1       ….(2)
a5		a x a x a x a x a

Berdasarkan (1) dan (2) dapat disimpulkan bahwa a⁰ = 1. Uraian tersebut memenuhi konsep bilangan berpangkat nol seperti definisi berikut.

 

Definisi 4

a⁰ = 1, dengan a bilangan rasional dan a ≠ 0

 

Sifat 1 sampai dengan Sifat 5 yang telah kamu pelajari pada bagian 3 berlaku juga untuk bilangan berpangkat nol, dengan m= n= 0, a adalah bilangan rasional, dana≠ 0.