MATERI BARISAN DAN DERET GEOMETRI

BARISAN GEOMETRI

Yang dimaksud dengan barisan geometri yaitu sederetan bilangan yang berupa suku / unit yang ditulis secara berurutan dengan perbandingan dua buah suku yang berurutan mempunyai harga yang konstan (tetap). Perbandingan dua buah suku yang berurutan ini biasanya dinamakan dengan rasio dan dilambangkan dengan huruf r. Sehingga bentuk umum untuk barisan geometri yaitu

U₁, U₂, U₃, ……., U_n-1, U_n

U₁/U₂ = U₃/U₂ = …. = U_n / U_n-1

r=U_n / U_n-1

Jika untuk suku pertama disebut dengan a maka bentuk umum untuk barisan geometrinya sebagai berikut

Jadi berdasarkan deret diatas U_n=ar^n-1

Berdasarkan rasionya kita dapat memperoleh tiga jenis pernyataan, yaitu :

1. Jika r>1 maka suku-suku barisan tersebut semakin besar nilainya / naik sehingga disebut barisan geometri naik.
2. Jika r<1 yang artinya -1<r<1 maka suku-suku barisan tersebut semakin kecil nilainya / turun sehingga disebut barisan geometri turun.
3. Jika r<0 maka suku barisan berganti tanda sehingga disebut barisan naik turun.

DERET GEOMETRI

Jika a, ar, ar², ar³, … ar^n-1 merupakan suatu barisan geometri, maka

a + ar + ar² + ar³ +  … ar^n-1 merupakan deret geometri.

Jadi Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku dari barisan geometri. Apabila jumlah n suku pertama dari deret geometri  kita lambangkan dengan S_n, maka S_n dapat ditulis sebagai berikut

S_n = a + ar + ar² + ar³ +  … ar^n-1

Jika kita kalikan persamaan diatas dengan r  akan diperoleh

r S_n = ar + ar² + ar³ + ar⁴ + … ar^n-1 + arⁿ

selanjutnya kita kurangkan kedua persamaan tersebut

S_n = a + ar + ar² + ar³ +  … ar^n-1

r S_n = ar + ar² + ar³ + ar⁴ + … ar^n-1 + arⁿ

__________________________________-

S_n – r S_n = a – arⁿ

(1 – r)S_n = a(1 – rⁿ)

S_n=a(1 – rⁿ)/(1 – r)  jika r<1

untuk r>1 dengan cara yang sama rumus S_n dapat diperoleh, yaitu

Keterangan :

1. Rasio dari dua buah suku yang berurutan tetap
2. Barisan geometri akan naik jika U_n > U_n-1
3. Barisan geometri akan turun jika U_n < U_n-1
4. Barisan geometri akan bergantian naik turun jika r < 0
5. Terdapat hubungan U_n = S_n – S_n-1
6. Jika banyaknya suku ganjil maka suku tengahnya Ut=√U1.Un
7. Apabila terdapat 3 bilangan membentuk deret geometri, maka untuk memudahkan perhitungan kita misalkan saja bilangan tersebut dengan a/r,a,ar.

contoh soal :

tentukanlah jumlah dari deret geometri 2 + 6 + 18 + … + 4374 ?

Penyelesaian :

Diketahui Barisan geometri 2 + 6 + 18 + … + 4374

Sehingga a = 2 dan r = 3

U_n = ar^n-1

4374=2 . 3^n-1

4374/2=3^n-1

2187=3^n-1

3⁷=3^n-1

n – 1 = 7

n = 8

S_n=a(1 – rⁿ)/(1 – r)

S₈= 2(1 – 3²)/(1 – 3)

     = 6560

Jadi, jumlah 8 suku pertama deret geometri tersebut adalah  6560.

DERET GEOMETRI TAK HINGGA

 Suatu deret geometri jika n menuju tak hingga maka deret tersebut disebut deret geometri tak berhingga. Sehingga deret geometri tak berhingga merupakan penjumlahan dari

Jenis deret geometri tak hingga :

1. Deret Geometri Tak Hingga Konvergen

Deret dikatakan termasuk dalam deret  geometri tak hingga konvergen jika deret tersebut memiliki rasio |r| <1 atau -1< r <1. Dan jumlah deret geometri yang konvergen dirumuskan dengan pendekatan

S_n=a/(1 – r)

2. Deret Geometri Tak Hingga Divergen (menyebar)

Deret dikatakan termasuk dalam deret  geometri tak hingga divergen jika deret tersebut memiliki rasio |r| >1 atau r >1 atau r < -1. Dan jumlah deret geometri divergen tidak didefinisikan. contoh : 1+3+9+27+…

Catatan:a + ar + ar² + ar³ + ar⁴ + …….……….Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil
a+ar² +ar⁴+ …….                     S_ganjil = a / (1-r²)Jumlah suku-suku pada kedudukan genap
a + ar³ + ar⁵ + ……                  S_genap = ar / 1 -r²
Didapat hubungan : S_genap / S_ganjil = r

PENGGUNAAN DALAM PERBANKAN

1. Untuk Perhitungan BUNGA TUNGGAL (Bunga dihitung berdasarkan modal awal)

M₀, M₁, M₂, …………., M_n

M₁ = M₀ + P/100 (1) M₀ = {1+P/100(1)}M₀

M₂ = M₀ + P/100 (2) M₀ = {1+P/100(2)} M₀

.
.
.
.

M_n =M₀ + P/100 (n) M₀ ® M^_n = {1 + P/100 (n) } M₀
2. Untuk Perhitungan BUNGA MAJEMUK (Bunga dihitung berdasarkan modal terakhir)

M₀, M₁, M₂, ………., M_n

M₁ = M₀ + P/100 . M₀ = (1 + P/100) M₀

M₂ = (1+P/100) M₀ + P/100 (1 + P/100) M₀ = (1 + P/100)(1+P/100)M₀     = (1 + P/100)² M₀.
.
.

Mn = {1 + P/100}ⁿ M₀

Keterangan :

M₀ = Modal awalM_n = Modal setelah n periodep   = Persen per periode atau suku bungan   = Banyaknya periode

Catatan:

Rumus bunga majemuk dapat juga dipakai untuk masalah pertumbuhan tanaman, perkembangan bakteri (p > 0) dan juga untuk masalah penyusutan mesin, peluruhan bahan radio aktif (p < 0).